【有限元分析-CAE分析】非线性与线性的本质区别

非线性与线性是相对而言的，在有限元分析-CAE分析时，两者是一对矛盾的概念，一方面两者在一定程度上可以相互转化，另一方面两者又存在本质区别，再者两者同时存在于—个系统中，规定着系统相应方面的性质。
(1) 非线性与线性的密切联系
首先，在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解。物理上的一些非线性问题，也可以通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的可积方程，从而求出了精确的解析解；一些非线性不强的问题，可用线性逼近方法将其转化为若干线性问题来求近似解，这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。
其次，在某些情况下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，无助于更好地理解系统的行为，而从解的非线性形式中，我们却可以方便地得到所研究系统的重要性质。如：考虑这样一个简单方程：d2X/dt²+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，从这个非线性形式中，我们容易知道它是个周期函数，满足cos(t+2π)=cos(t)，sin(t+2π)=sin(t)。而从cos(t)和sin(t)的解析形式中，极难证明其具有相应的周期性这一重要性质。所以，认为线性方程可以得到解析解， 非线性方程难以得到解析解，因而线性能给出比非线性更多的有用信息是不确切的。这意味着，对某些问题从非线性的角度考察不仅是可能的，而且有时也是必要的。
所以，线性与非线性在一定程度上是可以相互转化的，这表明了线性与非线性之间有密切的联系。
(2) 非线性与线性的本质区别
非线性与线性虽然可以通过数学变换而相互转化，在数学上有一定的联系，但是在同一视角、同一层次、同一参照系下，非线性与线性又是有本质区别的。
在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等；线性方程满足叠加原理，非线性方程不满足叠加原理；线性方程易于求出解析解，而非线性方程一般不能得出解析解。
在物理上，近线性问题(它不是我们所说的非线性问题)可用线性逼近方法求出一定精确度的解，即依据具体问题对精确度的要求，逐次解出若干个线性问题，把它们叠加起来，就能得到很好的近似解。但是对于非线性问题，由于存有小参数发散及收敛慢等问题，线性逼近方法将失效，特别是对于高速运动状态、强烈的相互作用、长时间的动态行为等非线性很强的情况，线性方法将完全无能为力。线性逼近方法这些局限性，导致非线性方法的不可替代，在无法用线性方法处理的强非线性的地方，只能用非线性方法。线性逼近方法并非经常能奏效，这不光是方法论问题，也是自然观问题，自然界既有量变又有质变，在质变中， 自然界要经历跃变或转折，这是线性所不能包容的。
(3) 非线性与线性在同一系统中的作用
非线性与线性有一定的联系又有本质区别，它们常同时存在于一个系统之中，规定着系统不同侧面的性质，一个确定的系统，一般都同时具有线性和非线性两种性质：
首先，在一个给定的非线性系统中，它的非线性性质决定它的平衡构造或说稳定机制是否存在，及存在的地方。
其次，系统的线性性质决定着系统关于其平衡点(稳定结构)的小振动的规律，即系统在稳定点附近的线性展开性质。